005補集合とド・モルガンの法則

問題

全体集合を

$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$

とし、

$A=\{1,2,3,5,7\},\qquad B=\{2,3,6,8\}$

とする。次の集合を求めよ。

(1)

$\overline{A}$

(2)

$\overline{A\cap B}$

(3)

$\overline{A}\cup\overline{B}$

補集合に関する基本問題です。補集合単体というより、和集合・共通部分・補集合を組み合わせて扱うのが集合の基本で、そこからどの程度複雑になるかが、そのまま問題の難易度につながります。

本問題はその中でも最も基本的な形で、この問題を通してド・モルガンの法則を紹介します。この法則は、「使わないと絶対に解けない」というより、複雑な集合の式を整理してくれるものというイメージです。(3)を見ると、その便利さが分かりやすいと思います。

補集合そのものは、まずは「それ以外」と覚えてしまってよいです。ただし「それ以外」を決めるためには、基準となる全体が必要です。その集合を全体集合といい、よく $U$ を使って表します。

また、集合ではベン図がよく使われますが、複雑な問題ほど必ずベン図を描けばよい、というわけではありません。領域の位置関係を確認したいときには非常に便利ですが、要素がすべて列挙されていて式の処理順が明確な場合には、式を順番に計算した方が簡単なこともあります。