011命題と集合

問題

$x$ は実数とし、

$p:|x|\leqq2,\qquad q:x<3$

とする。また、条件 $p,q$ を満たす実数全体の集合をそれぞれ $P,Q$ とする。

(1) 集合 $P,Q$ を求め、その包含関係を答えよ。

(2) 命題 $p\Rightarrow q$ の真偽を調べよ。

(3) 命題 $q\Rightarrow p$ の真偽を調べよ。

命題の真偽に関する基本問題です。特に本問題では、集合の包含関係から命題の真偽を考えることがテーマになります。分かりやすさのために、今回は条件を数値で表しやすいシンプルな設定にしてあります。

ただし、この考え方は数値で範囲を書ける場合だけのものではありません。例えば、

$\text{正方形}\Rightarrow\text{ひし形}$

という命題を考えてみます。正方形はすべてひし形なので、

$\text{正方形}\subset\text{ひし形}$

という包含関係になっています。つまり、矢印の行き先側が、出発側をすっぽり包んでいれば命題は真です。

逆に、

$\text{ひし形}\Rightarrow\text{正方形}$

は偽です。正方形ではないひし形があるため、行き先側の方が狭くなっています。

このように、条件を数値で表しにくい場合でも、「矢印の行き先が出発側をすべて含んでいるか」と考えると、命題の真偽を判断しやすくなります。