018背理法・無理数であることの証明

$\sqrt2$ が有理数であると仮定する。

すると、互いに素な整数 $m,n\ (n\neq0)$ を用いて、

$\sqrt2=\dfrac{m}{n}$

と表せる。

両辺を2乗すると、

$m^2=2n^2$

となる。

したがって $m^2$ は偶数なので、$m$ も偶数である。

よって、

$m=2k\qquad(k\text{ は整数})$

とおくことができる。

これを $m^2=2n^2$ に代入すると、

$4k^2=2n^2$

より、

$n^2=2k^2$

となる。

したがって $n^2$ は偶数なので、$n$ も偶数である。

すると $m,n$ はともに偶数となり、$m,n$ が互いに素であることに矛盾する。

よって、$\sqrt2$ は有理数ではない。

したがって、

$\sqrt2$

は無理数である。