006ベン図から集合を読み取る

問題

全体集合を

$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

とし、部分集合 $A,B$ について

$A\cap B=\{2\}$

$\overline{A}\cap B=\{4,6,8\}$

$\overline{A}\cap\overline{B}=\{1,9\}$

であるとする。次の集合を求めよ。

(1)

$A\cup B$

(2)

$B$

(3)

$A\cap\overline{B}$

集合における王道問題です。王道の中でも基本的なタイプで、試験範囲なら絶対に押さえておきたいところです。

本問題は、ある意味では(1)(2)(3)を同時に解く問題です。というのも、与えられた条件からベン図そのものを完成させることができるからです。

今回は集合が2つなので、ベン図は4つの領域に分かれます。その4か所に、条件に対応する数字を1つずつ書き込んでいけばベン図が完成します。

集合の問題では、何でもベン図にすればよいわけではありません。ただ、本問題のように「各領域に何が入るか」を条件から逆算するタイプでは、ベン図が非常に有効です。式だけで追いかけるよりも、情報を整理しやすくなります。

ベン図が完成したら、あとは(1)(2)(3)で指定された領域を読み取るだけです。少しパズルのような感覚があり、計算中心の数学とはかなり雰囲気が違います。そのため、数学自体が苦手でも比較的取り組みやすいタイプだと思います。

$A\cap B=\{2\}$

$\overline{A}\cap B=\{4,6,8\}$

$\overline{A}\cap\overline{B}=\{1,9\}$

をそれぞれ対応する領域に入れる。

残った

$3,5,7$

は、

$A\cap\overline{B}$

の領域に入る。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$A$ または $B$ に入っている要素を集めると、

$A\cup B=\{2,3,4,5,6,7,8\}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

$A\cap B=\{2\}$

$\overline{A}\cap B=\{4,6,8\}$

$\overline{A}\cap\overline{B}=\{1,9\}$

をそれぞれ対応する領域に入れる。

残った

$3,5,7$

は、

$A\cap\overline{B}$

の領域に入る。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$B$ に入っている要素を集めると、

$B=\{2,4,6,8\}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

$A\cap B=\{2\}$

$\overline{A}\cap B=\{4,6,8\}$

$\overline{A}\cap\overline{B}=\{1,9\}$

をそれぞれ対応する領域に入れる。

残った

$3,5,7$

は、

$A\cap\overline{B}$

の領域に入る。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
したがって、

$A\cap\overline{B}=\{3,5,7\}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。