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問題一覧を開く（全18問）

集合8問

命題・論証10問

008集合の条件から文字を決める

重要度本命
難易度★★★☆

問題

$A=\{1,3,2a+1\},\qquad B=\{-2,a+3,(a-1)^2\}$

とする。

$A\cap B=\{1,5\}$

であるとき、次の問いに答えよ。

(1) $a$ の値を求めよ。

(2) $A\cup B$ を求めよ。

事前知識・使用公式

元講師の独り言

集合の形自体は与えられていますが、その中に未知数が混ざっている問題です。応用問題の中ではよく見るタイプですが、今回は易しめに設定してあります。

「集合の応用問題にも取り組みたい」と思ったら、本問題は結構いい線だと思います。 $A,B$ の要素の形は与えられているものの、初見では少し手が止まるかもしれません。しかし、実際に解いてみるとそれほど難しくなく、拍子抜けするタイプの問題でもあります。

こういう問題は、事前に一度経験しているかどうかで、テスト中に「取り組むか、飛ばすか」の判断にも影響が出るかもしれません。

ThinkingFlow

(1)

$1,5$ は $A,B$ の両方に含まれる。

$A$ の要素は

$1,3,2a+1$

なので、 $5$ に対応できる要素に着目する。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$2a+1=5$

より、

$2a=4$

したがって、

$a=2$

このとき、

$A=\{1,3,5\}$

$B=\{-2,5,1\}$

となり、

$A\cap B=\{1,5\}$

を満たす。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

(2)

$a=2$ より、

$A=\{1,3,5\}$

$B=\{-2,1,5\}$

したがって、

$A\cup B=\{-2,1,3,5\}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

最終解答