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集合8問

命題・論証10問

013必要条件・十分条件

問題

$x,y$ は実数とする。条件 $p$ は条件 $q$ であるための何条件か。次の4つから答えよ。

(1) $p:x=2,\qquad q:x^2=4$

(2) $p:x^2=1,\qquad q:x=1$

(3) $p:|x|=0,\qquad q:x=0$

(4) $p:xy=1,\qquad q:x=1$

事前知識・使用公式

元講師の独り言

必要条件・十分条件・必要十分条件を判定する基本問題です。論証の中でもメインストリームにあたる内容で、多くの人が一度は引っかかるところだと思います。

ただし、判定そのものは意外と形式的です。難しいのは、「必要条件」「十分条件」という言葉そのものよりも、その前段階にある命題の真偽を正しく判断できるかどうかです。

さらに少しややこしいのが、問題文の主語が変わると「必要」「十分」も入れ替わることです。ここで混乱しやすいため、本問題では条件 $p$ を主語として、 $p$ を左側に固定して考える形にしています。

この判定方法自体はシンプルですが、実際の問題では絶対値、図形、有理数・無理数など、さまざまな内容と組み合わされます。したがって、必要十分条件の形式を覚えるだけでなく、命題の真偽を判断する力も必要になります。

ThinkingFlow

(1)

$x=2\Rightarrow x^2=4$

は真。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$x=2\Leftarrow x^2=4$

は偽。

反例として、

$x=-2$

がある。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$p\Rightarrow q$ は真、 $p\Leftarrow q$ は偽。

したがって、 $p$ は $q$ であるための十分条件であるが必要条件ではない。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

(2)

$x^2=1\Rightarrow x=1$

は偽。

反例として、

$x=-1$

がある。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$x^2=1\Leftarrow x=1$

は真。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$p\Rightarrow q$ は偽、 $p\Leftarrow q$ は真。

したがって、 $p$ は $q$ であるための必要条件であるが十分条件ではない。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

(3)

$|x|=0\Rightarrow x=0$

は真。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$|x|=0\Leftarrow x=0$

は真。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$p\Rightarrow q$ 、 $p\Leftarrow q$ はともに真。

したがって、 $p$ は $q$ であるための必要十分条件。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

(4)

$xy=1\Rightarrow x=1$

は偽。

反例として、

$x=2,\qquad y=\frac12$

がある。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$xy=1\Leftarrow x=1$

は偽。

反例として、

$x=1,\qquad y=2$

がある。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$p\Rightarrow q$ 、 $p\Leftarrow q$ はともに偽。

したがって、 $p$ は $q$ であるための必要条件でも十分条件でもない。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

最終解答

013必要条件・十分条件

問題