015変量変換を利用した平均・分散の計算

問題

変量 $x$ のデータが次のように与えられている。

670,\ 685,\ 650,\ 665,\ 640,\ 650

y=\frac{x-650}{5}

として、新たな変量 $y$ をつくる。

(1) 変量 $y$ のデータの平均値、分散、標準偏差を求めよ。

(2) 変量 $x$ のデータの平均値、分散、標準偏差を求めよ。

変量変換・仮平均といった内容の実践問題。本問題を通して、この手法のメリットが実感できると思う。

もともと与えられた数字が大きかったり、小数が含まれていたりする場合など、一旦形を変えてから統計量を計算し、あとから元の数字に戻すことがある。(1)⇒(2)の流れがそれである。

少々難しくはあるが、この手の問題の応用かつ王道の形。ここからさらに現実のデータに紐づけた問題にすると、そのまま共通テスト形式の問題にもつながる。

$y=\frac{x-650}{5}$
より、
$670,\ 685,\ 650,\ 665,\ 640,\ 650$
は、
$4,\ 7,\ 0,\ 3,\ -2,\ 0$
に変換される。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$\bar{y} = \frac{4+7+0+3-2+0}{6} = 2$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$y$ $4$ $7$ $0$ $3$ $-2$ $0$
$y-\bar{y}$ $2$ $5$ $-2$ $1$ $-4$ $-2$
$(y-\bar{y})^2$ $4$ $25$ $4$ $1$ $16$ $4$
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分散は、
$s_y^2 = \frac{4+25+4+1+16+4}{6} = \frac{54}{6} = 9$
したがって、標準偏差は、
$s_y=\sqrt{9}=3$
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$y$	$4$	$7$	$0$	$3$	$-2$	$0$
$y-\bar{y}$	$2$	$5$	$-2$	$1$	$-4$	$-2$
$(y-\bar{y})^2$	$4$	$25$	$4$	$1$	$16$	$4$

$y=\frac{x-650}{5}$
より、
$x=5y+650$
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$x=5y+650$
なので、
$\bar{x} = 5\bar{y}+650 = 5\cdot2+650 = 660$
分散は、
$s_x^2 = 5^2s_y^2 = 25\cdot9 = 225$
標準偏差は、
$s_x = |5|s_y = 5\cdot3 = 15$
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