0122集団を合わせた平均・分散

問題

20個の値からなるデータがあり、そのうち8個の値の平均値は $4$ 、分散は $3$ 、残りの12個の値の平均値は $9$ 、分散は $8$ である。

前者の8個のデータをA群、後者の12個のデータをB群とする。

(1) この20個のデータの平均値を求めよ。

(2) この20個のデータの分散を求めよ。

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頻出問題かつ、そこそこ応用的な問題の1つ。本範囲の応用問題は、どうしても文章量が多く、計算量も多くなりがちである。その中で本問題のように、問題文は短め・計算量は少なめ・難易度は高めという問題は、指導者側からすると非常に扱いやすい。

(1)(2)は似た構造を持つ。(1)については、もしかしたら中学時代に似た問題を解いたことがあるかもしれない。(2)も基本的な流れは同じだが、必要なステップが少し長くなり、さらに分散について次の公式を利用する。

s^2=\overline{x^2}-(\bar{x})^2

分散の求め方として最初に覚える公式ではないため、この問題の形自体を知らないと、途中でかなり迷いやすい。

A群は8個、平均値は $4$ なので、
$8\times4=32$
B群は12個、平均値は $9$ なので、
$12\times9=108$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$32+108=140$
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全体は20個なので、
$\bar{x} = \frac{140}{20} = 7$
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A群について、
$s_A^2=\overline{x_A^2}-(\bar{x}_A)^2$
より、
$\overline{x_A^2} = 3+4^2 = 19$
B群について、
$s_B^2=\overline{x_B^2}-(\bar{x}_B)^2$
より、
$\overline{x_B^2} = 8+9^2 = 89$
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A群の $x^2$ の合計は、
$8\times19=152$
B群の $x^2$ の合計は、
$12\times89=1068$
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$152+1068=1220$
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全体は20個なので、
$\overline{x^2} = \frac{1220}{20} = 61$
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$s^2 = \overline{x^2}-(\bar{x})^2$
より、
$s^2 = 61-7^2 = 12$
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