命題と条件（真偽・反例・否定）

次の事柄は命題であるか。命題である場合は、その真偽を答えよ。

(1) $25$ は $5$ で割り切れる。

(2) ひし形は正方形である。

(3) $3$ は $10$ にかなり近い数である。

$x,y$ は実数、$n$ は自然数とする。次の条件の否定を述べよ。

(1) $x>-2$

(2) $x=3$ かつ $y\neq1$

(3) $n$ は偶数または $3$ の倍数である。

$x$ は実数とし、

$p:|x|\leqq2,\qquad q:x<3$

とする。また、条件 $p,q$ を満たす実数全体の集合をそれぞれ $P,Q$ とする。

(1) 集合 $P,Q$ を求め、その包含関係を答えよ。

(2) 命題 $p\Rightarrow q$ の真偽を調べよ。

(3) 命題 $q\Rightarrow p$ の真偽を調べよ。

$x,y,a,b$ は実数とする。次の命題の真偽を答えよ。また、偽である場合は反例を1つ示せ。

(1) $x^2=16\Rightarrow |x|=4$

(2) $|x|>|y|\Rightarrow x>y$

(3) $ab$ が有理数 $\Rightarrow a,b$ はともに有理数

次の命題の否定を述べよ。また、もとの命題とその否定の真偽を調べよ。

(1) すべての実数 $x$ について、$x^2+1>1$ である。

(2) ある自然数 $n$ について、$n^2=3n$ である。