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三角比の基本（0〜90°）7問

三角比の拡張（0〜180°）8問

平面図形と三角比20問

空間図形と三角比6問

015三角比を含む不等式

重要度本命
難易度★★☆☆

問題

注意：この問題は現行の数学I「図形と計量」の標準的な学習指導要領の範囲には含まれない発展内容です。学校・教材によって扱わない場合があります。

$0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ とする。次の不等式を満たす $\theta$ の範囲を求めよ。

(1)

\sin\theta>\frac12

(2)

1\leqq-2\cos\theta<\sqrt2

(3)

\tan\theta<\sqrt3

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事前知識・使用公式

元講師の独り言

まず"必ず"学校の授業ノート・プリントを確認してほしい。教科書や問題集ではなく、"ノート・プリント・試験範囲"を確認。本問題は問題文冒頭にも記載している通り、国が決めた正式な学習範囲には含まれていない。しかし、諸事情あって学校や教材によって扱う場合もあるため、掲載している。数学Ⅱを履修予定・余力がある・数学頑張りたいなどの個々の事情によって扱うかも含めて判別してほしい。

ThinkingFlow

(1)

$\sin\theta>\frac12$
なので、単位円上で
$y>\frac12$
となる部分を確認する。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
境界となる角は
$30^\circ,\ 150^\circ$
なので、
$30^\circ<\theta<150^\circ$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

(2)

まず不等式を整理する。
$1\leqq-2\cos\theta<\sqrt2$
より、
$-\frac{\sqrt2}{2}<\cos\theta\leqq-\frac12$
となる。

単位円上で、この範囲に対応する $x$ 座標を確認する。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
境界となる角は
$120^\circ,\ 135^\circ$
であり、端点の含み方に注意すると、
$120^\circ\leqq\theta<135^\circ$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

(3)

$\tan\theta=\sqrt3$
に対応する、原点を通り $x$ 軸の正の向きとなす角が $60^\circ$ の直線を描く。

$\tan\theta$ は直線の傾きとして考える。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$0^\circ\leqq\theta<90^\circ$ では、
$\tan\theta<\sqrt3$
となるのは
$0^\circ\leqq\theta<60^\circ$
である。

また、 $90^\circ<\theta\leqq180^\circ$ では $\tan\theta\leqq0<\sqrt3$ なので、すべて条件を満たす。

したがって、
$0^\circ\leqq\theta<60^\circ, \qquad 90^\circ<\theta\leqq180^\circ$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

最終解答

015三角比を含む不等式

問題

(1)

(2)

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問題メタ

解法メタ

ThinkingFlow

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(3)

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