023三角形の決定（複数解の判断を含む）

重要度本命
難易度★★☆☆

問題

$\triangle ABC$ において、

A=45^\circ,\qquad a=2\sqrt2,\qquad b=2\sqrt3

のとき、 $c$ および $B,C$ を求めよ。

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FTEXT「d. 2辺とその間でない角が与えられた場合」を解く

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与えられた条件から三角形の要素の値を求める王道問題。しかし、この問題は意外と難しいはずである。正弦定理・余弦定理・内角の和から各要素を算出する流れは他の問題と同様であるが、本問題では条件を満たす三角形が2つ存在し、各値を導出するルートも選びにくいと思う。やること自体は同じであるが、各ステップごとに迷う要素がちりばめられている。

ThinkingFlow

$\triangle ABC$ に、
$A=45^\circ,\qquad a=2\sqrt2,\qquad b=2\sqrt3$
を書き込む。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$
より、
$\sin B=\frac{\sqrt3}{2}$
したがって、
$B=60^\circ,\ 120^\circ$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$B=60^\circ$ のとき、
$C=180^\circ-45^\circ-60^\circ=75^\circ$
$B=120^\circ$ のとき、
$C=180^\circ-45^\circ-120^\circ=15^\circ$
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$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
より、
$8=12+c^2-2\sqrt6c$
したがって、
$c^2-2\sqrt6c+4=0$
これを解くと、
$c=\sqrt6+\sqrt2,\qquad \sqrt6-\sqrt2$
角が大きいほど、その対辺も長いので、
$\begin{aligned} B=60^\circ,\ C=75^\circ &\quad\Rightarrow\quad c=\sqrt6+\sqrt2,\\ B=120^\circ,\ C=15^\circ &\quad\Rightarrow\quad c=\sqrt6-\sqrt2. \end{aligned}$
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