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037正四面体の辺上の点と三角形

問題

1辺の長さが $6$ の正四面体 $ABCD$ において、辺 $BC,CD$ 上にそれぞれ点 $P,Q$ を、

BP:PC=1:2,\qquad CQ:QD=1:2

となるようにとる。次のものを求めよ。

(1) $AP,\ AQ,\ PQ$ の長さ

(2) $\cos\angle PAQ$

(3) $\triangle APQ$ の面積

事前知識・使用公式

元講師の独り言

正四面体の空間図形の基本問題です。

図形の見た目的に少し難しそうに思えるかもしれませんが、本問題は驚くほど空間図形的要素は「無い」です。

正四面体であるので、問題文には書いていませんが、各面が正三角形であり、その内角がすべて $60^\circ$ であることに注意したいです。それが分かれば、特に問題はないと思います。

ただし、この問題とほぼ同じ見た目で、少し難易度が高い問題も存在します。大抵は (1)(2) のように小問に分かれているため、解けるところまで解いていけばよいです。

ThinkingFlow

(1)

正四面体の各面は正三角形なので、必要な角は $60^\circ$ である。
$AP=2\sqrt7,\qquad AQ=2\sqrt7,\qquad PQ=2\sqrt3$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

(2)

$\triangle APQ$ に余弦定理を用いると、
$\cos\angle PAQ = \frac{AP^2+AQ^2-PQ^2}{2\cdot AP\cdot AQ} = \frac{11}{14}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

(3)

$\sin\angle PAQ = \sqrt{1-\left(\frac{11}{14}\right)^2} = \frac{5\sqrt3}{14}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$S_{\triangle APQ} = \frac12\cdot AP\cdot AQ\sin\angle PAQ = 5\sqrt3$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

最終解答

037正四面体の辺上の点と三角形

問題