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平面図形と三角比20問

空間図形と三角比6問

031円に内接する四角形の対角線・面積

問題

円に内接する四角形 $ABCD$ において、

AB=7,\qquad BC=7,\qquad CD=3,\qquad DA=5

とする。次の問いに答えよ。

(1)

対角線 $AC$ の長さを求めよ。

(2)

四角形 $ABCD$ の面積を求めよ。

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事前知識・使用公式

元講師の独り言

円に内接する四角形の王道問題。その中でも、四角形の4つの辺の長さが分かっているところから始めるパターン。

いつも通り対角線を引くところから始めるが、そこで手が止まるかもしれない。初手に何を考えるかは、頭の中のレパートリーに入れておいた方がよい。

逆に言えば、"初手"だけ覚えておけば後は他の問題と同じである。

また、円に内接する四角形特有の概念として、対角の三角比の値がどういった関係にあるかは非常に重要である。

ThinkingFlow

(1)

円に内接する四角形 $ABCD$ に4辺の長さを書き込み、対角線 $AC$ を引く。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
円に内接する四角形より、
$B+D=180^\circ$
したがって、
$\cos D=-\cos B$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$\triangle ABC,\triangle ACD$ に余弦定理を用い、どちらも $AC^2$ で表す。
$AC^2 = 7^2+7^2-2\cdot7\cdot7\cos B = 98-98\cos B$ $AC^2 = 5^2+3^2-2\cdot5\cdot3\cos D = 34+30\cos B$
よって、
$98-98\cos B=34+30\cos B$
から、
$\cos B=\frac12$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$AC^2 = 98-98\cdot\frac12 = 49$
より、
$AC=7$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

(2)

(1)で求めた
$AC=7$
を図に書き込む。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$\cos B=\frac12$
より、
$\sin B=\frac{\sqrt3}{2}$
また、
$D=180^\circ-B$
なので、
$\sin D=\sin B=\frac{\sqrt3}{2}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$S_{\triangle ABC} = \frac12\cdot7\cdot7\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \frac{49\sqrt3}{4}$ $S_{\triangle ACD} = \frac12\cdot5\cdot3\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \frac{15\sqrt3}{4}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$S_{ABCD} = \frac{49\sqrt3}{4} + \frac{15\sqrt3}{4} = 16\sqrt3$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

最終解答

031円に内接する四角形の対角線・面積

問題