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三角比の基本（0〜90°）7問

三角比の拡張（0〜180°）8問

平面図形と三角比20問

空間図形と三角比6問

005三角比の相互関係

問題

$0^\circ<\theta<90^\circ$ とする。次のとき、残り2つの三角比を求めよ。

(1)

\sin\theta=\frac35

(2)

\cos\theta=\frac5{13}

(3)

\tan\theta=\frac12

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事前知識・使用公式

元講師の独り言

三角比の超重要問題。いずれかの三角比の値が分かっていれば、他の三角比の値も計算できるという趣旨の問題。この問題を通して以下の基本3公式を押さえる。押さえたいではなく、絶対に押さえる。

\sin^2\theta+\cos^2\theta=1

\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}

1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}

どれも極めて大事だが、特に上二つの使用頻度は極めて高い。本問題では $0^\circ<\theta<90^\circ$ としているが、 $0^\circ<\theta<180^\circ$ の問題も用意してある。少し注意すべきポイントがあるので確認してほしい。

ThinkingFlow

(1)

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$
より、
$\cos^2\theta =1-\left(\frac35\right)^2 =\frac{16}{25}$
$0^\circ<\theta<90^\circ$ より $\cos\theta>0$ なので、
$\cos\theta=\frac45$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta} =\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} =\frac34$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

(2)

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$
より、
$\sin^2\theta =1-\left(\frac5{13}\right)^2 =\frac{144}{169}$
$0^\circ<\theta<90^\circ$ より $\sin\theta>0$ なので、
$\sin\theta=\frac{12}{13}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta} =\frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} =\frac{12}{5}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

(3)

$1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}$
より、
$1+\left(\frac12\right)^2 =\frac{1}{\cos^2\theta}$
したがって、
$\cos^2\theta=\frac45$
$0^\circ<\theta<90^\circ$ より $\cos\theta>0$ なので、
$\cos\theta=\frac{2\sqrt5}{5}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
より、
$\sin\theta =\tan\theta\cos\theta =\frac12\cdot\frac{2\sqrt5}{5} =\frac{\sqrt5}{5}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

最終解答

005三角比の相互関係

問題