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三角比の基本（0〜90°）7問

三角比の拡張（0〜180°）8問

平面図形と三角比20問

空間図形と三角比6問

024正弦の比と辺の比

問題

$\triangle ABC$ において、

\sin A:\sin B:\sin C=3:5:7

のとき、次の問いに答えよ。

(1)

$a:b:c$ を求めよ。

(2)

$\cos C$ の値を求めよ。

(3)

$C$ の大きさを求めよ。

事前知識・使用公式

元講師の独り言

この問題、結構出ます。あらかじめ準備しておかないと、テスト中に思いつけるかどうかは難しいところ。一応、事実として以下を書いておきます。

\sin A:\sin B:\sin C=a:b:c

つまり、正弦の値の比と、それぞれに対応する辺の比は一致します。これは覚えてしまってもよいですが、(1)の設問として用意してあり、そこで解説しています。

勘違いしやすいのは、角度の比と正弦の値の比は必ずしも一致しないということです。正弦の値の比と辺の長さの比が一致します。

また、(2)の解法にも注意してください。辺の比をそのまま辺の長さとして用いると、途中式の記述があった場合、かなりの確率で減点対象です。

ThinkingFlow

(1)

正弦定理より、
$a=2R\sin A,\qquad b=2R\sin B,\qquad c=2R\sin C$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$a:b:c = \sin A:\sin B:\sin C = 3:5:7$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

(2)

$a=3k,\qquad b=5k,\qquad c=7k$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
より、
$\cos C = \frac{(3k)^2+(5k)^2-(7k)^2}{2\cdot3k\cdot5k} = -\frac12$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

(3)

$\cos C=-\frac12$
より、
$C=120^\circ$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

最終解答

024正弦の比と辺の比

問題