038正四面体の高さと体積

問題

1辺の長さが $6$ の正四面体 $ABCD$ において、辺 $BC$ の中点を $M$ とする。

頂点 $A$ から線分 $DM$ に下ろした垂線を $AH$ とし、

\angle AMD=\alpha

とする。次のものを求めよ。

(1) $\cos\alpha$

(2) $AH$ の長さ

(3) 四面体 $ABCD$ の体積

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この問題はちょっと罠です。

(3)で体積を求めていますが、問題によっては体積を問われない場合もあります。つまり、いつも「体積 → 垂線」と考えるのではなく、今回は 「垂線 → 体積」 が正規ルートです。

ちなみに本問題では、先に(3)の体積を求め、そこから(2)の垂線を求める別解ルートも存在します。ただし、こちらは1手増えて計算量も少し増えます。ぜひ今回の正規ルートも習得してほしいです。

計算の中身自体はいつもと同じで、ほぼ平面図形の域を出ていません。

\text{体積}\rightarrow\text{垂線} \qquad \text{垂線}\rightarrow\text{体積}

どちらもあり得るので、問題に応じて正しく選択したいところです。

正四面体の各面は正三角形なので、
$AM=DM=3\sqrt3$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$\triangle AMD$ に余弦定理を用いると、
$\cos\alpha=\frac13$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

$\sin\alpha=\frac{2\sqrt2}{3}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$\sin\angle AMH=\frac{AH}{AM}$
より、
$AH=2\sqrt6$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

$S_{\triangle BCD}=9\sqrt3$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$V_{ABCD} = \frac13\cdot 9\sqrt3\cdot 2\sqrt6 = 18\sqrt2$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。