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平面図形と三角比20問

空間図形と三角比6問

039底面の外心を利用する三角錐

問題

三角錐 $PABC$ において、

PA=PB=PC=\sqrt{17}, \qquad AB=3,\quad BC=5,\quad CA=7

とする。

頂点 $P$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線を $PH$ とする。次のものを求めよ。

(1) $\triangle ABC$ の面積

(2) $PH$ の長さ

(3) 三角錐 $PABC$ の体積

事前知識・使用公式

元講師の独り言

この問題は(2)がすべてです。おそらくこの問題までチャレンジしている読者ならば、(1)はスムーズに解けると思います。(2)が出た前提ならば、(3)も即座に出ます。

一方、(2)はあることに気が付かなければ、かなり時間を取られることが予想されます。

全体の流れは他の空間図形の問題と同じなので、(2)のFlow 1の事実だけ押さえておけば、コスパ良く対処できると思います。

テストでは差がつきやすい問題だと思います。

ThinkingFlow

(1)

$\triangle ABC$ に余弦定理を用いると、
$\cos B = \frac{AB^2+BC^2-CA^2}{2\cdot AB\cdot BC} = -\frac12$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$\sin B=\frac{\sqrt3}{2}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$S_{\triangle ABC} = \frac12\cdot3\cdot5\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \frac{15\sqrt3}{4}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

(2)

$PH\perp$ 平面 $ABC$ より、
$PA^2=PH^2+AH^2,\qquad PB^2=PH^2+BH^2,\qquad PC^2=PH^2+CH^2$
である。

$PA=PB=PC$ だから、
$AH=BH=CH$
となり、 $H$ は $\triangle ABC$ の外心である。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
外接円の半径を $R$ とすると、
$\frac{CA}{\sin B}=2R$
より、
$AH=R = \frac{7}{2\sin120^\circ} = \frac{7\sqrt3}{3}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
直角三角形 $PHA$ より、
$PH^2 = PA^2-AH^2 = 17-\frac{49}{3} = \frac23$
したがって、
$PH=\frac{\sqrt6}{3}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

(3)

$V = \frac13\cdot \frac{15\sqrt3}{4}\cdot \frac{\sqrt6}{3} = \frac{5\sqrt2}{4}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

最終解答

039底面の外心を利用する三角錐

問題