025正弦の比と最大角

問題

$\triangle ABC$ において、

\frac{\sin A}{3} = \frac{\sin B}{5} = \frac{\sin C}{7}

が成り立つとき、最も大きい角の大きさを求めよ。

正弦の比から角度を導出する問題の派生問題。非常によく似た類題を他で掲載しており、ほぼ解き方はその問題と同じである。

\text{正弦の比} \Rightarrow \text{辺の比} \Rightarrow \bigstar\ \text{最も大きい角度} \Rightarrow \text{角度}

の流れでよい。

ここで少し注目したいのは、角度 $\theta$ と $\sin\theta$ の関係である。ここから先は少し難しい話なので、話半分で読んでもらって構わない。

本問題は三角形に限った状況であるため、

\sin\theta \text{ に対応する値が最大} \Rightarrow \theta \text{ の対辺が最大} \Rightarrow \theta \text{ が最大}

が成り立っている。

ただし、

\sin\theta \text{ が大きくなれば }\theta\text{ も大きくなる}

という関係が一般的に成り立つわけではない。例えば、

\sin30^\circ=\sin150^\circ

である。

この違いは、本問題が「三角形の3つの角」という制約の中で考えていることによる。

$\sin A:\sin B:\sin C=3:5:7$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
正弦定理より、
$a:b:c = \sin A:\sin B:\sin C = 3:5:7$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
最も長い辺に対する角が、最も大きい角である。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$a=3k,\qquad b=5k,\qquad c=7k$
とおく。

余弦定理より、
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{(3k)^2+(5k)^2-(7k)^2}{2\cdot3k\cdot5k} = -\frac12$
したがって、
$C=120^\circ$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。