030円に内接する四角形の面積

重要度本命
難易度★★★☆

問題

円に内接する四角形 $ABCD$ において、

AB=5,\qquad BC=4,\qquad CD=1,\qquad \angle B=60^\circ

のとき、四角形 $ABCD$ の面積を求めよ。

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FTEXT「円に内接する四角形」を解く

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元講師の独り言

三角比のメインイベントはここだと思います。超王道です。

二次関数でいう文字を含んだ場合分けにあたるポジションだと思いますが、それよりも解きやすいと思います。文字も増えず、シンプルに数字がどんどん出ていき、図が完成していきます。

ただし手順が長いので、慣れるまでは大変だと思います。余弦定理＋面積の公式＋円に内接する四角形の性質を用いる、集大成のような形です。

実際のテストでは、(1)(2)のように誘導が付いていることも多いです。まずはフローを参考に流れを確認してみてください。

ThinkingFlow

四角形 $ABCD$ が円に内接していること、 $AB=5,\ BC=4,\ CD=1,\ \angle B=60^\circ$ を図に書き込み、対角線 $AC$ を引く。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
円に内接する四角形の性質より、
$\angle B+\angle D=180^\circ$
したがって、
$\angle D=120^\circ$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$\triangle ABC$ に余弦定理を用いると、
$AC^2 = AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos B$
より、
$AC^2 = 5^2+4^2-2\cdot5\cdot4\cos60^\circ = 21$
したがって、
$AC=\sqrt{21}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$\triangle ACD$ に余弦定理を用いると、
$AC^2 = AD^2+CD^2-2\cdot AD\cdot CD\cos D$
より、
$21 = AD^2+1^2-2\cdot AD\cdot1\cos120^\circ$ $21=AD^2+1+AD$
したがって、
$AD=4$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$S_{\triangle ABC} = \frac12\cdot5\cdot4\sin60^\circ = 5\sqrt3$ $S_{\triangle ACD} = \frac12\cdot4\cdot1\sin120^\circ = \sqrt3$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$S_{ABCD} = S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD} = 5\sqrt3+\sqrt3 = 6\sqrt3$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

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