空間図形と三角比

直方体 $ABCD-EFGH$ において、

$$AB=\sqrt3,\qquad AD=\sqrt6,\qquad AE=\sqrt{10}$$

とする。次のものを求めよ。

(1) $\angle ACF$ の大きさ

(2) $\triangle ACF$ の面積

(3) 四面体 $ABCF$ の体積

(4) 頂点 $B$ から平面 $ACF$ に下ろした垂線の長さ

1辺の長さが $6$ の正四面体 $ABCD$ において、辺 $BC,CD$ 上にそれぞれ点 $P,Q$ を、

$$BP:PC=1:2,\qquad CQ:QD=1:2$$

となるようにとる。次のものを求めよ。

(1) $AP,\ AQ,\ PQ$ の長さ

(2) $\cos\angle PAQ$

(3) $\triangle APQ$ の面積

1辺の長さが $6$ の正四面体 $ABCD$ において、辺 $BC$ の中点を $M$ とする。

頂点 $A$ から線分 $DM$ に下ろした垂線を $AH$ とし、

$$\angle AMD=\alpha$$

とする。次のものを求めよ。

(1) $\cos\alpha$

(2) $AH$ の長さ

(3) 四面体 $ABCD$ の体積

三角錐 $PABC$ において、

$$PA=PB=PC=\sqrt{17}, \qquad AB=3,\quad BC=5,\quad CA=7$$

とする。

頂点 $P$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線を $PH$ とする。次のものを求めよ。

(1) $\triangle ABC$ の面積

(2) $PH$ の長さ

(3) 三角錐 $PABC$ の体積

1辺の長さが $6$ の正四面体 $ABCD$ に球が内接しており、その中心を $O$ とする。次のものを求めよ。

(1) 正四面体 $ABCD$ の体積

(2) 内接球の半径

(3) 内接球の表面積と体積

底面の半径が $2$、母線の長さが $6$ の直円錐がある。

底面の円周上の点 $A$ から、直円錐の側面をちょうど1周して再び $A$ に戻るように糸を巻きつける。

糸の長さが最短となるとき、その長さを求めよ。