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三角比の基本（0〜90°）7問

三角比の拡張（0〜180°）8問

平面図形と三角比20問

空間図形と三角比6問

007三角比の相互関係を使った式計算

重要度本命
難易度★★☆☆

問題

次の値を求めよ。

(1)

(\sin\theta+\cos\theta)^2+(\sin\theta-\cos\theta)^2

(2)

(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)-\frac{1}{1+\tan^2\theta}

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事前知識・使用公式

元講師の独り言

三角比の相互関係を用いた王道の問題。図形が関わらず、式変形をひたすら行い、式を簡単にする。「値を求めよ」と問われているので、大抵「きれいな数字」になることが多いが、三角比の形で答えが出ることもある。つまり、極限まで式を簡単にしてね、という問題である。見た目で問題の難易度を見極めることは難しいため、一旦できるところまで計算してみて、手が止まってしまったら飛ばしてもよいと思う。固有の解法パターンというよりは少し発想もいるので、要注意。

ThinkingFlow

(1)

$(\sin\theta+\cos\theta)^2+(\sin\theta-\cos\theta)^2$ $=2\sin^2\theta+2\cos^2\theta$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$2\sin^2\theta+2\cos^2\theta =2(\sin^2\theta+\cos^2\theta) =2$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

(2)

$(1-\sin\theta)(1+\sin\theta) =1-\sin^2\theta$
したがって、
$(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)-\frac{1}{1+\tan^2\theta} = 1-\sin^2\theta-\frac{1}{1+\tan^2\theta}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$1-\sin^2\theta=\cos^2\theta$
また、
$1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}$
より、
$\frac{1}{1+\tan^2\theta}=\cos^2\theta$
したがって、
$\cos^2\theta-\cos^2\theta=0$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

最終解答

007三角比の相互関係を使った式計算

問題

(1)

(2)

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問題メタ

解法メタ

ThinkingFlow

(1)

(2)

最終解答

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