底面の半径が 、母線の長さが の直円錐がある。
底面の円周上の点 から、直円錐の側面をちょうど1周して再び に戻るように糸を巻きつける。
糸の長さが最短となるとき、その長さを求めよ。
最短距離の問題です。中学生のときにほぼ同じ問題を解いたことがあるかもしれませんが、本問題も基本的には同じ手順で解けます。
ただし、最後に長さを求めるところでは、一応余弦定理を用いています。したがって、手順をすでに知っていれば、新しい知見はほとんどないかもしれません。
展開図を描き、どの線分が最短距離に対応するのかを認識するところが肝です。
まずは自分で展開図を描いてみましょう。そのあとに、最短距離となる線を書き込みます。
すると、最短距離を求めるためには扇形の中心角が必要になることが分かると思います。
今回は、この公式を忘れていることも想定して問題を取り上げています。以下は自分で導出できるようにしておきたいところです。
展開図の扇形の半径は母線の長さなので、
である。
AI接続は次工程で実装予定です。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
展開図で、切り開いた点 の両端を とすると、最短距離は線分 で表される。
AI接続は次工程で実装予定です。
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底面の円周と扇形の弧の長さは等しいので、
したがって、
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三角形 に余弦定理を用いると、
したがって、
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