029角の二等分線の長さ

問題

$\triangle ABC$ において、 $\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$ とする。

AB=6,\qquad AC=12,\qquad A=120^\circ

のとき、 $AD$ の長さを求めよ。

本問題はかなり“危険”な問題である。

「角の二等分線」という言葉を聞いたら、辺の比を用いたくなってしまう。そして、面積について問われておらず、どちらかというと辺の長さの問題に見えてしまう。

ここで図を描いてみると、 $BC$ が余弦定理ですぐ導出できる。そうなると、以下のような“地獄のルート”に誘導されかねない。

\text{余弦定理で }BC \Rightarrow \text{余弦定理で }\cos B \Rightarrow \text{辺の比で }BD \Rightarrow \text{余弦定理で }AD

上記のルートは、解法を知らない場合の一般ルートになってしまう。しかし正規ルートではないため計算が複雑になりやすく、整備されていない道である。

対して正規ルートは解法メタで。

$AB=6,\ AC=12,\ A=120^\circ$ を図に書き込み、 $AD$ は $\angle A$ の二等分線なので、
$\angle BAD=\angle DAC=60^\circ$
であることを確認する。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}$
より、
$\frac12\cdot6\cdot12\sin120^\circ = \frac12\cdot6\cdot AD\sin60^\circ + \frac12\cdot12\cdot AD\sin60^\circ$
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$\sin120^\circ=\sin60^\circ$ より、
$36=9AD$
したがって、
$AD=4$
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