034対角線とそのなす角から四角形の面積を求める

問題

四角形 $ABCD$ の対角線 $AC,BD$ の交点を $O$ とする。

AC=6,\qquad BD=8,\qquad \angle AOB=60^\circ

のとき、四角形 $ABCD$ の面積を求めよ。

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対角線のなす角が与えられている面積の問題です。円に内接している必要はありません。

出題頻度は高くないが、もし「知っていたら」差がつく問題なので載せています。初見で最後まで自力で行き着いたら、結構力がついているんじゃないかと思います。

余弦定理や正弦定理でどこかの辺や角度を追加で出す必要がなく、他の問題とは毛並みが違います。

対角線の交点を $O$ として、
$OA=a,\qquad OB=b,\qquad OC=c,\qquad OD=d$
と置く。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$S_{ABCD} = S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{DOA}$
$\sin120^\circ=\sin60^\circ$ より、
$S_{ABCD} = \frac12\sin60^\circ (ab+bc+cd+da)$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$ab+bc+cd+da = (a+c)(b+d)$
ここで、
$a+c=AC=6,\qquad b+d=BD=8$
なので、
$ab+bc+cd+da=48$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$S_{ABCD} = \frac12\cdot48\cdot\sin60^\circ = 12\sqrt3$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。