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三角比の基本（0〜90°）7問

三角比の拡張（0〜180°）8問

平面図形と三角比20問

空間図形と三角比6問

036直方体内の三角形の角・面積と垂線

問題

直方体 $ABCD-EFGH$ において、

AB=\sqrt3,\qquad AD=\sqrt6,\qquad AE=\sqrt{10}

とする。次のものを求めよ。

(1) $\angle ACF$ の大きさ

(2) $\triangle ACF$ の面積

(3) 四面体 $ABCF$ の体積

(4) 頂点 $B$ から平面 $ACF$ に下ろした垂線の長さ

事前知識・使用公式

元講師の独り言

三角比を用いた空間図形の問題で、一番最初に押さえておきたい問題です。

平面図形がまだあまり練習できていなかったり、空間図形そのものが苦手であれば、本問題だけ一旦押さえておくのはありです。

流れの大半は平面図形の考え方そのものであり、体積から垂線を求めるという頻出の設問パターンで締めています。

基本どの問題も平面図形の考え方の延長のような解き方が多いですが、本問題以外はどの基本問題であれ、そこそこの難易度がある気がします。本問題を押さえずに他の問題を優先的にやるのは、ちょっと考えづらい戦略です。

ThinkingFlow

(1)

$AC=3,\qquad AF=\sqrt{13},\qquad CF=4$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$\cos\angle ACF=\frac12$
したがって、
$\angle ACF=60^\circ$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

(2)

$S_{\triangle ACF}=3\sqrt3$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

(3)

(4)

頂点 $B$ から平面 $ACF$ に下ろした垂線の長さを $h$ とすると、
$V_{ABCF} = \frac13\cdot 3\sqrt3\cdot h$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$\sqrt5=\sqrt3h$
より、
$h=\frac{\sqrt{15}}3$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

最終解答

036直方体内の三角形の角・面積と垂線

問題