040正四面体と内接球

問題

1辺の長さが $6$ の正四面体 $ABCD$ に球が内接しており、その中心を $O$ とする。次のものを求めよ。

(1) 正四面体 $ABCD$ の体積

(2) 内接球の半径

(3) 内接球の表面積と体積

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内接球の問題です。本問題は正四面体を対象としているので、体積から球の半径にアプローチします。

ちなみに、断面図から球の半径にアプローチする方法をイメージした読者もいるかもしれません。断面図は、四角錐の内接球を考える場合に相性が良いです。

本問題のメインは(2)の半径を求めるフェーズですが、(1)の体積に関する議論も押さえておいてほしいです。

一般に、正四面体では以下が成り立ちます。

\text{頂点から対面に下ろした垂線の足} = \text{対面の重心}

この事実と重心の性質を使えば、垂線の長さ、つまり正四面体の高さを求めることができます。

頂点 $A$ から平面 $BCD$ に下ろした垂線の足を $H$ 、辺 $BC$ の中点を $M$ とする。

正四面体より、 $H$ は正三角形 $BCD$ の重心である。

したがって、
$DM=3\sqrt3,\qquad DH=\frac23DM=2\sqrt3$
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直角三角形 $ADH$ より、
$AH = \sqrt{AD^2-DH^2} = \sqrt{36-12} = 2\sqrt6$
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$S_{\triangle BCD} = \frac{\sqrt3}{4}\cdot6^2 = 9\sqrt3$
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$V_{ABCD} = \frac13\cdot9\sqrt3\cdot2\sqrt6 = 18\sqrt2$
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4つの三角錐は合同なので、
$V_{OBCD} = \frac14V_{ABCD} = \frac{9\sqrt2}{2}$
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内接球の半径を $r$ とすると、
$V_{OBCD} = \frac13\cdot S_{\triangle BCD}\cdot r = 3\sqrt3\,r$
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$3\sqrt3\,r = \frac{9\sqrt2}{2}$
より、
$r=\frac{\sqrt6}{2}$
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$4\pi r^2 = 4\pi\left(\frac{\sqrt6}{2}\right)^2 = 6\pi$
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$\frac43\pi r^3 = \frac43\pi\left(\frac{\sqrt6}{2}\right)^3 = \sqrt6\pi$
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