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三角比の基本（0〜90°）7問

三角比の拡張（0〜180°）8問

平面図形と三角比20問

空間図形と三角比6問

014三角比を含む式の値

重要度土台
難易度★★☆☆

問題

$0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ とする。

\sin\theta+\cos\theta=\frac12

のとき、次の値を求めよ。

(1)

\sin\theta\cos\theta

(2)

\sin^3\theta+\cos^3\theta

(3)

\sin\theta-\cos\theta

事前知識・使用公式

元講師の独り言

王道問題かつ応用問題。この形の問題は三角比に限らず様々なところで出現するため、分野を超えた波及も期待でき、おすすめである。本範囲のテストでも十分出現する。さらに私の手元の準拠問題集では(3)は発展問題に振り分けられているが、そこまで難しいわけではないので、コスパはいいと思う。順当に(1)⇒(2)⇒(3)とレベルが上がっていく。3乗の展開公式などを思い出さないといけないが、結局いろんなところで出てくるので復習としたい。

ThinkingFlow

(1)

$\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^2 = \sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta$
より、
$\frac14 = 1+2\sin\theta\cos\theta$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$2\sin\theta\cos\theta=-\frac34$
したがって、
$\sin\theta\cos\theta=-\frac38$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

(2)

$\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^3 = \sin^3\theta+\cos^3\theta +3\sin\theta\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta)$
より、
$\frac18 = \sin^3\theta+\cos^3\theta +3\left(-\frac38\right)\left(\frac12\right)$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$\sin^3\theta+\cos^3\theta = \frac18+\frac{9}{16} = \frac{11}{16}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

(3)

$\left(\sin\theta-\cos\theta\right)^2 = \sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta$
より、
$\left(\sin\theta-\cos\theta\right)^2 = 1-2\left(-\frac38\right) = \frac74$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$\sin\theta-\cos\theta = \pm\frac{\sqrt7}{2}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
(1)より、
$\sin\theta\cos\theta=-\frac38<0$
である。

$0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ では $\sin\theta\geqq0$ なので、
$\sin\theta>0,\qquad \cos\theta<0$
となる。したがって、
$\sin\theta-\cos\theta>0$
より、
$\sin\theta-\cos\theta=\frac{\sqrt7}{2}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

最終解答

014三角比を含む式の値

問題

(1)

(2)

(3)

事前知識・使用公式

元講師の独り言

問題メタ

解法メタ

ThinkingFlow

(1)

(2)

(3)

最終解答

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