問題一覧を開く（全41問）

三角比の基本（0〜90°）7問

三角比の拡張（0〜180°）8問

平面図形と三角比20問

空間図形と三角比6問

032円に内接・外接する正六角形の面積

問題

半径 $2$ の円について、次の問いに答えよ。

(1)

円に内接する正六角形の面積を求めよ。

(2)

円に外接する正六角形の面積を求めよ。

事前知識・使用公式

元講師の独り言

円に内接・外接する正多角形の問題。本問題では正六角形であるが、正八角形や正十二角形でも問題作成は可能である。

あくまでも「三角比」の範囲であり、特有の公式として覚えていない限りは、ピザを分割するように、合同な三角形で切り分ける作業から始める。

そこまで出題頻度が多いわけでもなく、他の問題への波及も強くはないが、見た目や問題文も分かりやすく、一通り流れを押さえておけばすぐに活用可能かと思い、掲載した。

円に外接する正六角形の方が少し手間は増えるが、どちらも基本的な考え方は同じである。

ThinkingFlow

(1)

円の中心と正六角形の各頂点を結び、6つの合同な正三角形に分ける。

中心角は、
$\frac{360^\circ}{6}=60^\circ$
で、半径が $2$ なので各三角形の2辺はともに $2$ 。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$\frac12\cdot2\cdot2\sin60^\circ = \sqrt3$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$6\cdot\sqrt3=6\sqrt3$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

(2)

円の中心と正六角形の各頂点を結び、6つの合同な三角形に分ける。

円の半径 $2$ は、それぞれの三角形の高さになる。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
中心から頂点までの長さを $x$ とすると、
$x\cos30^\circ=2$
より、
$x=\frac{4}{\sqrt3}$
したがって、1つ分の面積は、
$\frac12\left(\frac4{\sqrt3}\right)^2\sin60^\circ = \frac{4\sqrt3}{3}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$6\cdot\frac{4\sqrt3}{3} = 8\sqrt3$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

最終解答

032円に内接・外接する正六角形の面積

問題