033三角形の内接円の半径

問題

$\triangle ABC$ において、

A=120^\circ,\qquad b=3,\qquad c=5

とする。三角形 $ABC$ の内接円の半径 $r$ を求めよ。

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超王道にもかかわらず、若干日陰にいる問題。本問題は内接円の半径を求める最も基本的な問題である。

にもかかわらず扱いが微妙なのは、

といった要因からだと思われる。

以下の公式自体は有名なので、しっかり押さえたい。

S=\frac12r(a+b+c)

上記の公式を見てもらえば分かる通り、内接円の半径に着目した公式ではあるが、 $S=$ の形になっている。すなわち、一旦自力で面積を出してから、内接円の半径に移行する。

誘導として「(1) 面積を求めよ」があるかもしれないし、なくても不思議ではない。

$A=120^\circ,\qquad b=3,\qquad c=5$
を図に書き込む。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$S = \frac12bc\sin A = \frac12\cdot3\cdot5\sin120^\circ = \frac{15\sqrt3}{4}$
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余弦定理より、
$a^2 = 3^2+5^2-2\cdot3\cdot5\cos120^\circ = 49$
したがって、
$a=7$
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$S=\frac12r(a+b+c)$
より、
$\frac{15\sqrt3}{4} = \frac12r(7+3+5)$
したがって、
$r=\frac{\sqrt3}{2}$
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