031根号を含む式の値

対称式の基本系に $\sqrt{\phantom a}$ を適用した問題です。したがって、$\sqrt{\phantom a}$ の計算さえできれば、あとは対称式の考え方について触れておけばよいです。

対称式とは、$x$ と $y$ を入れ替えても元の式と同じになる式のことをいいます。例えば、

$xy^2+x^2y$

で $x$ と $y$ を入れ替えると、

$yx^2+y^2x$

となります。項を並べ替えれば、

$x^2y+xy^2$

となり、元の式と一致します。

このような対称式は、$x+y$ と $xy$ の組み合わせで表すことができます。実際に、

$xy^2+x^2y=xy(y+x)=xy(x+y)$

となります。この考え方を利用して計算を行います。本問題であれば、計算量を大幅に削減できます。

この対称式は $\sqrt{\phantom a}$ に限らず、様々なところで出題されるため、コスパのよい知識です。別の問題でも再利用できます。