高校数学ナビ← トップへ戻る

問題一覧を開く（全44問）

式の計算13問

因数分解10問

実数・平方根13問

一次不等式8問

033根号の整数部分・小数部分

重要度次点
難易度★★★★

問題

$\dfrac{2}{\sqrt7-\sqrt5}$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とする。次の値を求めよ。

(1) $a$

(2) $b$

事前知識・使用公式

元講師の独り言

有理化と整数部分・小数部分の複合問題ですが、明確に一段階難しく設定しました。根号が1つだけであれば、有理化さえすれば従来型の整数部分・小数部分の問題に帰着します。

本問題では根号が2つ含まれているため、単純な大小比較だけでは整数部分の候補が2通り残ります。そういったときの対処法を紹介したいため、本問題を取り上げました。

正直、高校1年生のこの範囲の定期テストで、このパターンが高頻度で出るとは言い難いです。しかし、本問題を通して紹介する「不等式評価」は、高校3年間を通して使える技術です。

ThinkingFlow

(1)

$\dfrac{2}{\sqrt7-\sqrt5}$

$=\dfrac{2(\sqrt7+\sqrt5)}{7-5}$

$=\sqrt7+\sqrt5$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$(\sqrt5+\sqrt7)^2=12+2\sqrt{35}$

$5<\sqrt{35}<6$

より、

$22<12+2\sqrt{35}<24$

したがって、

$22<(\sqrt5+\sqrt7)^2<24$

正の数なので平方根をとると、

$\sqrt{22}<\sqrt5+\sqrt7<\sqrt{24}$

さらに、

$4<\sqrt{22},\qquad \sqrt{24}<5$

より、

$4<\sqrt5+\sqrt7<5$

したがって、

$a=4$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

(2)

$b=(\sqrt5+\sqrt7)-4$

したがって、

$b=\sqrt5+\sqrt7-4$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

最終解答