018軸が文字で動く固定区間の最大・最小

重要度本命
難易度★★★☆

問題

$a$ を実数とする。関数

y=x^2-2ax+1 \qquad (0\leqq x\leqq4)

について、次の問いに答えよ。

(1) 最大値を求めよ。
(2) 最小値を求めよ。

追加で練習する

FTEXT「文字定数を含む2次関数の形の判別」を解く

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事前知識・使用公式

元講師の独り言

二次関数の鬼門の1つで、大別して式に文字が含まれるパターンと定義域に文字が含まれるパターンの2種類ある。本問題は前者である。どちらの問題をとっても、範囲もしくは式の位置が確定せず、どちらかが動くイメージを持つこととなるが、相対的にやってることは同じであるため、どちらかを習得すればもう片方の習得も容易となりやすい。どちらの問題も"境目"を意識することが大事。境目の具体的な説明は解法メタで。

ThinkingFlow

(1) 最大値

平方完成して、頂点と軸を確認する。
$y=(x-a)^2-a^2+1$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
軸 $x=a$ を動かし、定義域の両端のどちらが高くなるかを見る。定義域は固定したまま、軸（頂点）はその外側まで動くこともあると考える。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
両端と軸との距離を比較する。境目は $a=2$ 。
$a<2,\qquad a=2,\qquad 2<a$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
各範囲で最大値をとる端点を確認する。
- $a<2$ のとき、 $x=4$ で最大。
- $a=2$ のとき、 $x=0,4$ で最大。
- $a>2$ のとき、 $x=0$ で最大。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

(2) 最小値

平方完成した形は(1)と同じ。今度は頂点が定義域に入るかを見る。
$y=(x-a)^2-a^2+1$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
軸 $x=a$ が定義域の左・内部・右のどこにあるかを見る。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$a$ を定義域の端 $0,4$ と比較する。
$a<0,\qquad 0\leqq a\leqq4,\qquad 4<a$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
各範囲で最小値をとる点を確認する。
- $a<0$ のとき、 $x=0$ で最小。
- $0\leqq a\leqq4$ のとき、 $x=a$ で最小。
- $a>4$ のとき、 $x=4$ で最小。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。