054二次方程式の2解の位置条件

重要度次点
難易度★★★★

問題

実数 $m$ について、二次方程式

x^2-2mx+m+2=0

の異なる2つの実数解が、次の条件を満たすような $m$ の値の範囲をそれぞれ求めよ。

(1) 2つの解がともに $1$ より大きい

(2) 2つの解がともに $1$ より大きく $3$ より小さい

事前知識・使用公式

元講師の独り言

重要問題の応用になります。難易度は4としていますが、本問題自体は比較的マイルドな設問にしています。少し簡単に感じるかもしれません。ベースとなっている問題をパターンとして丸暗記するのではなく、グラフから条件を考えるストーリーとして理解できているならば、本問題くらいの応用であれば初見でも対応できると思います。このタイプはいくらでも応用問題のパターンを作ることができますが、いずれにしても「グラフ化⇒条件を考える」という流れは変わりません。この問題までマスターできたならば、あとは好きな問題を好きに解いていってよい段階です。

ThinkingFlow

(1)

2つの解が「ともに $1$ より大きい」という条件を、放物線とグラフの位置関係に置き換える。2つの共有点が、ともに $x=1$ より右側にある形を考える。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$D>0,\qquad \text{軸}>1,\qquad f(1)>0$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$D=4(m-2)(m+1)$ $D>0 \iff m<-1,\ 2<m$
軸は
$x=m$
より、
$\text{軸}>1 \iff m>1$ $f(1)=3-m$
より、
$f(1)>0 \iff m<3$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
3条件の共通部分として、
$2<m<3$
を出す。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

(2)

2つの解が「ともに $1$ より大きく $3$ より小さい」という条件を、放物線と $x=1,\ x=3$ の位置関係に置き換える。2つの共有点が、 $x=1$ と $x=3$ の間にある形を考える。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
まず、
$2<m<3$
を利用し、さらに
$f(3)>0$
を追加する。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$f(3)=11-5m$
より、
$f(3)>0 \iff m<\frac{11}{5}$
したがって、
$2<m<\frac{11}{5}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

054二次方程式の2解の位置条件

問題

(1)

(2)

事前知識・使用公式

元講師の独り言

問題メタ

解法メタ

ThinkingFlow

(1)

(2)

最終解答

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