長さ の柵を使い、一直線の壁を利用して長方形の花壇を作る。
壁に接していない3辺をすべて柵で囲むものとする。
花壇の面積が最大になるとき、長方形の縦・横の長さと、その最大面積を求めよ。
この手の問題は教科書に載っており、読んでみるとさほど難しく感じないかもしれない。しかしこの手の問題で乗り越えるべきハードルはなかなか多い。列挙すると①自分で文字を置く、②自分で式を作る、③自分で置いた文字に実は範囲があることに気を付ける、④問題となる題材が無限。細かいハードルが多いわりに、この手の現実世界を題材とした問題は定期試験で何問も出題されるタイプではない。ただし、最大・最小の範囲全体で見れば、こういった文章題が1問程度入ってくることは十分考えられる。量は多くないが、完全に捨てるのも少し怖い、という立ち位置の問題である。
いつもの最大・最小問題に細かい要素がくっついているため、下のフローにしたがって解いてもらえればと思う。今回は結果的にあまり範囲を気にしなくてよいが、問題によっては算出された答えの一部が不適になるような問題もある。またせっかくなのでグラフ化のところで1つテクニックを紹介する。平方完成を経由せずにグラフ化する技である。
花壇の縦・横のうち、まだ決まっていない長さを1つ文字で置く。もう一方の辺の長さは、柵の全長30mから、文字で置いた辺の分を引く形で表せる。
壁に垂直な辺の長さを とする。
壁に平行な辺は
と表せる。
AI接続は次工程で実装予定です。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
2辺をかけて面積を表す。式は展開せず、そのまま利用する。
面積を とすると、
AI接続は次工程で実装予定です。
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今回は、いつもの平方完成とは違うルートで考える。 より、 のとき 。したがってグラフはこの2点を通る上に凸の放物線になる。頂点の 座標は、 と のちょうど真ん中である。
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を に代入する。
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④で求めた の値を、①の2辺の式と②の の式にそれぞれ代入すると、縦・横の長さと最大面積が求まる。
壁に垂直な辺：
壁に平行な辺：
最大面積：
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縦（壁に垂直）：
横（壁に平行）：
最大面積：