048二次不等式を用いる共有点個数の分類

重要度本命
難易度★★☆☆

問題

実数 $m$ について、二次関数

y=x^2-2mx+3m+4

のグラフと $x$ 軸との共有点の個数を、 $m$ の値によって調べよ。

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FTEXT「x軸との共有点の個数の判別」を解く

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元講師の独り言

共有点の個数の判別＋二次不等式＋自分で場合分けの欲張りセット。超王道問題だが、一次不等式型と手順はほぼ同じなので、全く同じ形の問題形式では教科書の流れに無いかもしれない。いろんな要素を一気に復習可能なので、手に覚えがある人はこのタイプの問題のいろんな形式をやってみると、効率的に勉強できるかも。逆に1つ1つの要素が怪しい人は戻って各要素を個別に復習してもよい。もちろん粘ってもよい。

ThinkingFlow

$\frac{D}{4}=(m+1)(m-4)$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
判別式の基本に戻ると、 $D/4$ の符号と共有点の個数は次のように対応する。
- 共有点2個： $\dfrac{D}{4}>0$
- 共有点1個： $\dfrac{D}{4}=0$
- 共有点0個： $\dfrac{D}{4}<0$
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$\frac{D}{4}=(m+1)(m-4)$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$D/4$ についての条件と、対応する $m$ の範囲を $\iff$ で直接結ぶ。
$\frac{D}{4}>0 \iff m<-1,\ 4<m$
より、共有点2個。
$\frac{D}{4}=0 \iff m=-1,\ 4$
より、共有点1個。
$\frac{D}{4}<0 \iff -1<m<4$
より、共有点0個。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

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