053二次方程式の2解の符号条件

重要度本命
難易度★★★☆

問題

実数 $m$ について、二次方程式

x^2-2mx+m+2=0

の異なる2つの実数解が、次の条件を満たすような $m$ の値の範囲をそれぞれ求めよ。

(1) 2つの解がともに正

(2) 2つの解がともに負

(3) 2つの解が異符号

事前知識・使用公式

元講師の独り言

二次方程式・二次不等式のメインストリームの終着点です。文字を含んだ二次関数の最大・最小の場合分けと同じような立ち位置の問題です。テストへの出現率は相当高いので習得したい。本問題は各設問に対応するグラフの形が固定化される。そのグラフに対応した条件を考えることになるが、パターン暗記のみに頼るのはお勧めしない。グラフを描いて、その条件を1つずつ確認してみることで、流れとして体得してほしい。そうすると、この問題の応用系にも対応しやすいはずである。

ThinkingFlow

3つの条件に対応する放物線の形を確認する。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
グラフの形から、判別式・軸の位置・ $y$ 切片の符号という3つの条件を読み取る。

(1)
$D>0,\qquad \text{軸}>0,\qquad y\text{切片}>0$
(2)
$D>0,\qquad \text{軸}<0,\qquad y\text{切片}>0$
(3)
$y\text{切片}<0$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
読み取った条件を、実際に $m$ の式として計算する。
$D=4(m-2)(m+1)$
したがって、
$D>0 \iff m<-1,\ 2<m$
軸は
$x=m$
より、
$\text{軸}>0 \iff m>0,\qquad \text{軸}<0 \iff m<0$
$y$ 切片は
$m+2$
より、
$y\text{切片}>0 \iff m>-2,\qquad y\text{切片}<0 \iff m<-2$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
各設問について、2で読み取った条件をすべて満たす $m$ の範囲を数直線上でまとめる。

(1)
$m>2$
(2)
$-2<m<-1$
(3)
$m<-2$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

053二次方程式の2解の符号条件

問題

(1)

(2)

(3)

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問題メタ

解法メタ

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