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032判別式による実数解の個数

問題

次の2次方程式の実数解の個数を求めよ。

(1)

x^2-5x+4=0

(2)

x^2-6x+9=0

(3)

2x^2+x+3=0

事前知識・使用公式

元講師の独り言

解の個数に関する問題である。問題を見てもらえれば分かる通り、 $x$ の値を具体的に出して数えてあげても、この問題では解ける。しかし少しでもひねられるとそうもいかなくなるため、「判別式」という概念をここで覚える必要がある。かなり重要で、解の公式と同等くらいの重要度だと思ってくれてよい。判別式は

D=b^2-4ac

の形で定義され、解の公式の $\sqrt{\phantom{x}}$ の中身と同じである。

ThinkingFlow

それぞれの方程式の係数 $a,b,c$ を判別式の式に代入する。
$(1)\quad D=(-5)^2-4\cdot1\cdot4=9$ $(2)\quad D=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=0$ $(3)\quad D=1^2-4\cdot2\cdot3=-23$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
判別式 $D$ の符号と実数解の個数は、次のように対応する。
$D>0 \Rightarrow \text{実数解は2個}$ $D=0 \Rightarrow \text{実数解は1個}$ $D<0 \Rightarrow \text{実数解は0個}$
したがって、
$(1)\ 2\text{個},\qquad (2)\ 1\text{個},\qquad (3)\ 0\text{個}$
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最終解答

032判別式による実数解の個数

問題