1から180までの整数のうち、次のような数は何個あるか。
(1) 3、4、5の少なくとも1つで割り切れる数
(2) 3では割り切れるが、4でも5でも割り切れない数
3つの集合の要素の個数に関する問題です。基本的な考え方は2集合の場合と同じで、集合が1つ増えた分だけ話が複雑になります。
すべてを数式だけで処理するのはつらいので、ベン図を適宜書いて状況を整理してみましょう。
集合の要素の個数に関する応用問題として出題されそうなのは、①本問題のような3集合の問題、②集合の要素の個数の最大値・最小値を考える問題（003）あたりです。おそらく、本問題の方が解きやすいと思います。
3つの集合の問題をベン図で解こうとすると、どこから数字を埋めればよいのか分からず、フリーズしてしまうかもしれません。
コツは「狭いところから埋めよ」です。本問題であれば、まずベン図の中央にある、3つの集合すべてが重なる部分を埋めます。ここは最小公倍数を使って計算できます。
中央が埋まると、その周囲にある3つの狭い領域も順番に埋められます。例えば、「3と4の両方で割り切れる数」の個数から、「3、4、5のすべてで割り切れる数」の個数を引けば、3と4の集合だけが重なる領域の個数が求められます。
この作業を中央から外側へ繰り返せば、ベン図全体を埋められます。この考え方を身につければ、3集合に関する問題の多くに対応できるようになります。
3、4、5の倍数の個数は、それぞれ
である。
3と4、3と5、4と5の公倍数はそれぞれ最小公倍数12、15、20の倍数であり、3、4、5すべての公倍数は60の倍数である。
2つの数の公倍数と、3つすべての公倍数の個数は、
である。
AI接続は次工程で実装予定です。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
3つの集合の要素の個数を足し、2つずつの共通部分を引く。このとき、3つすべての共通部分を引きすぎているので、最後に1回分を足す。
したがって、108個。
AI接続は次工程で実装予定です。
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3の倍数60個を、4の倍数・5の倍数との重なり方によって分ける。
3、4、5すべての倍数は3個である。
3と4の倍数だが5の倍数ではない数と、3と5の倍数だが4の倍数ではない数は、それぞれ
である。
したがって、3では割り切れるが4でも5でも割り切れない数は、
より、36個。
AI接続は次工程で実装予定です。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
(1) 108個
(2) 36個