065反復試行の回数・得点の期待値

問題

表裏が同様に確からしいコインを、各回独立に3回投げる。表が出ることを「成功」とする。

(1) 成功回数の期待値を求めよ。

(2) 成功が3回なら120点、2回なら30点、1回以下なら0点を得るゲームとする。得点の期待値を求めよ。

期待値の計算に関する基本問題です。本問題では、回数と得点の期待値を求めます。

どちらも、表が0回・1回・2回・3回出る確率を自分で求めなければならず、その点に少し負荷があります。数学Bの「統計的な推測」でも、同じような作業を行います。

あるあるなのですが、期待値そのものの議論より、その計算に必要な確率を求める方が負荷は高いです。表で整理して計算することをおすすめします。

期待値の計算では、以下のような表が役に立ちます。

量 $X$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$
$P$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$
$XP$	$x_1p_1$	$x_2p_2$	$\cdots$	$x_np_n$

$X$ の行には量が入ります。「○○の期待値」の「○○」に該当するものです。今回なら、(1)は成功回数、(2)は得点です。

$P$ の行には、それぞれに対応する確率を入れます。 $XP$ は掛け算の意味で、同じ列の $X$ と $P$ を掛けたものです。あとは、 $XP$ の行の数値をすべて足せば、それが期待値になります。

数学Bの「統計的な推測」では、分散などを求めるために、さらに行を追加した表を使うこともあります。

各回は独立で、成功する確率は $\dfrac{1}{2}$ なので、反復試行の公式を使う。
$\begin{aligned} P(\text{0回})&=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\\ P(\text{1回})&={}_3C_1\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{3}{8}\\ P(\text{2回})&={}_3C_2\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{3}{8}\\ P(\text{3回})&=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8} \end{aligned}$
これらを成功回数ごとの表に整理する。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$0\times\frac{1}{8}+1\times\frac{3}{8}+2\times\frac{3}{8}+3\times\frac{1}{8} =\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\text{回}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

0点になるのは成功が0回か1回の場合であり、この2つの場合は排反なので、その確率は、
$\frac{1}{8}+\frac{3}{8}=\frac{4}{8}$
30点になるのは成功が2回の場合なので確率は $\dfrac{3}{8}$ 、120点になるのは成功が3回の場合なので確率は $\dfrac{1}{8}$ 。これらを得点ごとの表に整理する。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$0\times\frac{4}{8}+30\times\frac{3}{8}+120\times\frac{1}{8} =\frac{210}{8}=\frac{105}{4}\text{点}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。