037順列を利用する確率

(1)(2)は、素直に階乗「!」を使って計算できます。AとBの入れ替わりに注意すれば、通常の順列の問題と変わりありません。

(3)について、少し考えてみます。A→B→Cの順に並ぶ確率ですが、もしかすると、次のように考えるかもしれません。

まず、AとBの位置を固定します。

AB○○○○

このとき、Cを置ける位置は4か所あります。次に、Bを1つ右へ動かします。

A○B○○○

このとき、Cを置ける位置は3か所あります。

このように、AとBの位置を動かしながら、Cを置ける位置を地道に数えていく方法でも答えは出せます。残りの文字の並べ方も数える必要がありますが、途中で規則性を見つければ、計算量を減らすことも可能です。

しかし、ここでは次のように単純化して考えてみましょう。

まず、AとBだけに着目します。どの並べ方も、A→Bの順か、B→Aの順のどちらかに該当します。そして、この2つの並び順に、起こりやすさの違いはあるでしょうか。

AとBを入れ替えれば、一方の並べ方ともう一方の並べ方が1対1に対応します。したがって、どちらの順になる確率も同じです。

同じことを、A・B・Cの3文字で考えてみます。この3文字の相対的な並び順は、

ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA

の6通りです。ほかの文字が間に入っていても、この6通りのどれかに必ず該当します。

そして、A・B・Cの配置を入れ替えることで、これらの並べ方も1対1に対応します。つまり、6通りの並び順は、どれも同様に確からしいということです。そのうち、条件に合うのはABCの1通りだけです。