059観測結果から元の構成を推定する逆向きの条件付き確率

問題

4個の箱があり、2個には赤玉2個ずつ、1個には赤玉1個と白玉1個、残りの1個には白玉2個が入っている。

どの箱も同じ確率で選ばれるように1個の箱を選び、その中から無作為に玉を1個取り出したところ、赤玉であった。このとき、選んだ箱に残っている玉も赤玉である確率を求めよ。

条件付き確率の基本問題です。ただし、感覚では解きにくいタイプであり、条件付き確率の難しいところを突いていると思います。

実際の操作は、

箱を選ぶ → 玉を取り出す（残りの玉も決まる）

という順番です。しかし今回は、取り出した玉の色が分かったところから、どのような箱を選んだのかを考え、残りの玉の色を推定します。

先に選んだ箱の構成を後の情報から考えることに加えて、①箱の選択、②取り出した玉、③残った玉の3要素が絡んでおり、かなり考えにくいと思います。このような場合は、次の公式を用いるのが一般的です。

P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\quad[P(A)\ne 0]

上の公式を用いる場合は、事象 $A$ 、 $B$ を設定し、必要な確率をそれぞれ計算します。すると、「よく分からないけれど」答えは出ます。

ここでいう「よく分からない」は、よい意味です。複雑な状況を頭の中だけで整理しきれなくても、事象を設定して公式に当てはめれば答えが出るわけです。二次方程式の解の公式をすぐに用いるのと同じで、悪いことではありません。

せっかくなので、公式を用いない場合も考えてみます。

各箱の玉を区別して、次のように番号を付けます。

どの箱も同じ確率で選ばれ、各箱には玉が2個ずつ入っています。したがって、8個の玉はどれも同じ確率で取り出されます。

赤玉が出たと分かったので、取り出した可能性があるのは赤①～⑤の5個です。そのうち、残りも赤玉になるのは、赤①～④を取り出した4通りなので、求める確率は $\dfrac{4}{5}$ です。

このように具体的に数える方法もあります。ThinkingFlowでは、これを公式で処理する流れを確認します。

$A$ を「取り出した玉が赤玉」、 $B$ を「残った玉が赤玉」とする。求めるのは $P_A(B)$ なので、 $\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ を計算すればよい。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
赤玉を取り出すのは、赤玉2個の箱を選ぶ場合と、赤白の箱を選んで赤玉を取り出す場合なので、
$P(A)=\frac{2}{4}\times 1+\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{5}{8}$
取り出した玉も残った玉も赤玉になるのは、赤玉2個の箱を選んだ場合なので、
$P(A\cap B)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
$P_A(B)=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{8}}=\frac{1}{2}\times\frac{8}{5}=\frac{4}{5}$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。