054移動後の位置から発生回数を逆算する反復試行

問題

数直線上の点 $P$ は、初め原点にある。1個のさいころを投げ、1、2、3、4の目が出たら正の向きに2、5、6の目が出たら負の向きに1だけ動かす。さいころを5回投げる。ただし、各目は同様に確からしく、各回の試行は互いに独立とする。

(1) 1、2、3、4の目が出た回数を $r$ 回とする。5回投げた後の点 $P$ の座標を、 $r$ を用いて表せ。

(2) 5回投げた後、点 $P$ の座標が4となる確率を求めよ。

反復試行を数直線の座標に絡めた応用問題です。本問題は2問立てにしていますが、試験では(1)の誘導がなく、直接(2)を求めさせる形で出るかもしれません。1～4までが何回出れば目的が達成されるのかが焦点となります。これさえわかれば、後はただの反復試行の問題になります。

回数が少なければ、1回出た場合、2回出た場合と徐々に増やして、総当たりでやってもよいかもしれません。ただし、(1)のように文字を使って位置を表す問題では、それだけでは答えられません。むしろ(1)の方を警戒した方がいいかもしれません。

問題自体はかなり特徴的なので、解法の判別は行いやすいです。

正の向きに動く回数が $r$ 回なので、負の向きに動く回数は $5-r$ 回である。

原点から正の向きに1回につき2、負の向きに1回につき1だけ動くので、5回投げた後の座標は、
$2r-(5-r)=3r-5$
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

(1)より、座標が4となる条件は、
$3r-5=4$
これを解くと $r=3$ 。したがって、1～4の目がちょうど3回出ればよい。
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1～4の目が出る確率は $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$ 、出ない確率は $\dfrac{1}{3}$ 。各回の試行は独立なので、求める確率は、
${}_5C_3\left(\frac{2}{3}\right)^3\left(\frac{1}{3}\right)^2 =10\times\frac{8}{27}\times\frac{1}{9} =\frac{80}{243}$
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