032文字の選択と同じものを含む順列

問題

$A,A,A,B,C,D,E,F$ の8文字から5文字を取り出して1列に並べるとき、次の並べ方は何通りあるか。

(1) 3個のAをすべて含む。

(2) Aをちょうど2個含む。

(3) 5文字がすべて異なる。

(4) すべての並べ方

これまでに学んださまざまな要素を含む複合問題であり、応用問題です。

まず、もとの文字列に同じ文字が含まれており、それらを並べるため、「同じものを含む順列」の考え方が必要です。さらに、すべての文字を並べるのではなく、一部を選んでから並べるため、「組合せ」の要素も加わります。加えて、条件によっては「場合分け」も必要です。

つまり、本問題には、

\text{組合せ} +\text{同じものを含む順列} +\text{場合分け}

という3つの要素が含まれています。

1つずつ解決していけばよいのですが、乗り越えるべき障壁が複数あるため、途中で何をすればよいのか分からなくなり、フリーズしやすいかもしれません。焦らず、必要な操作を順番に整理しながら解いていきましょう。難易度は高めです。

まずは、問題の条件に合う文字を選びます。これは、組合せ $C$ の操作です。次に、選んだ文字を1列に並べます。

選んだ文字がすべて異なる場合は、通常の順列として階乗で計算できます。一方、同じ文字を複数含む場合は、単純な順列 $P$ ではなく、

\frac{(\text{選んだ文字数})!} {(\text{同じ文字の個数})!\cdots}

という、同じものを含む順列の計算を使います。選んだ文字の構成を確認してから、並べ方を計算することが大切です。

特に難しいのは(3)だと思います。(3)では5文字がすべて異なるため、Aが2個以上含まれることはありません。しかし、「Aを使わない場合」だけでなく、「Aを1個使う場合」もあります。この2つに自分で気づき、場合分けする必要があります。

思考の流れを言葉にすると、次のようになります。

\begin{aligned} &\text{すべて異なるなら、Aは2個以上使えない}\\ &\longrightarrow \text{まずAを使わない場合を考える}\\ &\longrightarrow \text{A以外の文字はちょうど5種類なので数えやすい}\\ &\longrightarrow \text{ただし、Aを1個使う場合もある}\\ &\longrightarrow \text{Aを使わない場合と、1個使う場合に分ける} \end{aligned}

この問題で厄介な文字は、3個あるAです。そこでAを軸に考えます。「もしAがなかったら簡単なのに」と考えて、まずAを使わない場合から調べることが、突破口になるかもしれません。

5文字がすべて異なるため、Aを使う個数は0個または1個である。

Aを使わない場合は、B、C、D、E、Fの5文字をすべて並べるので、
$5!=120$
通りである。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
Aとともに使う4文字を、B、C、D、E、Fの5文字から選ぶ。その選び方は ${}_5C_4$ 通りである。

選んだ5文字はすべて異なるので、並べ方は $5!$ 通りである。

したがって、
${}_5C_4\times5! =5\times120 =600$
通りである。
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Aを使わない場合と、Aを1個使う場合を足して、
$120+600=720$
より、720通り。
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