061玉を移してから取り出す複合確率

問題

箱 $A$ には赤玉4個と白玉2個、箱 $B$ には赤玉2個と白玉3個が入っている。玉の取り出しは無作為に行い、玉を移した後はよく混ぜる。

(1) 箱 $A$ から玉を1個取り出して箱 $B$ に移し、その後、箱 $B$ から玉を1個取り出す。この玉が赤玉である確率を求めよ。

(2) (1)の操作で、箱 $B$ から取り出した玉が赤玉であった。このとき、箱 $A$ から箱 $B$ に移した玉が赤玉であった確率を求めよ。

条件付き確率に関する標準的な問題です。(1)は、条件付き確率に入る前の確率の問題と変わりません。場合分けが発生するため、容易とは言えないかもしれませんが、受け入れがたいということはないと思います。

しかし、主題は(2)です。結果から、それより前に何が起こったのかを考える、時系列が逆の問題です。記号で書くと、次のようになります。

P_{\text{Bから赤}}(\text{Aから赤})

ここで、「Aから赤」は「AからBへ赤玉を移す」、「Bから赤」は「Bから赤玉を取り出す」の意味です。条件付き確率の公式より、直ちに次の関係が成り立ちます。

P_{\text{Bから赤}}(\text{Aから赤}) =\frac{P(\text{Aから赤、かつBから赤})}{P(\text{Bから赤})}

右辺の分子は「赤玉を移して、その後に赤玉を取り出す確率」、分母は「Bから赤玉を取り出す確率」です。どちらも、操作の順番に沿って素直に考えられます。したがって、逆向きの状況を頭の中で整理しきれなくても、必要な確率を計算すれば答えが出ます。

公式に頼らず、中身を吟味する形の解法も、解法メタで紹介したいと思います。

箱 $A$ から移す玉が赤の場合と白の場合に分ける。移した後の箱 $B$ の玉は、どちらの場合も6個である。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
赤玉を移すと、箱 $B$ の赤玉は3個となる。赤玉を移し、さらに箱 $B$ から赤玉を取り出す経路の確率は、
$\frac{4}{6}\times\frac{3}{6}=\frac{12}{36}$
白玉を移すと、箱 $B$ の赤玉は2個のままである。白玉を移し、箱 $B$ から赤玉を取り出す経路の確率は、
$\frac{2}{6}\times\frac{2}{6}=\frac{4}{36}$
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2つの場合は排反なので、求める確率は、
$\frac{12}{36}+\frac{4}{36}=\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$
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$E$ を「赤玉を移す」、 $F$ を「Bから赤玉を取り出す」とする。 $F$ が起こったことを前提に、 $E$ が起こった確率を求めるので、
$P_F(E)=\frac{P(E\cap F)}{P(F)}$
を計算すればよい。(1)より、 $P(F)=\dfrac{4}{9}$ 。
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$P(E\cap F)=\frac{4}{6}\times\frac{3}{6}=\frac{1}{3}$
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$P_F(E)=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}}=\frac{1}{3}\times\frac{9}{4}=\frac{3}{4}$
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