017まとまりと交互配置の円順列

(1)は「隣り合う」＋「円順列」の考え方で対処します。

本問題の主題である(2)では、まず男子または女子の一方を円形に並べます。どちらから始めても構いません。例えば男子から始めるなら、男子1人を固定し、残りの男子を並べます。この時点で、男子4人の円順列が完成します。

次に、男子と男子の間にできた4か所へ、女子4人を入れていきます。男子を先に並べたことで4か所を区別できるため、ここでは女子4人を普通の順列として並べればよいです。すると「スッキリ」全員を交互に配置できます。

一列と円形では、交互に並べられる人数の条件が少し異なります。

• 一列で男子4人・女子4人：男子から始める型と女子から始める型の2種類
• 一列で男子4人・女子5人：女子から始まり女子で終わる型の1種類
• 円形で男子4人・女子4人：回転を同一視するため、交互配置の型は1種類
• 円形で男子4人・女子5人：全員を完全に交互に並べることはできない

円形では最初と最後も隣り合います。そのため、一方が1人多いと、どこかで同じ性別が隣り合ってしまいます。図を描けば、この違いが分かりやすいと思います。