027人物条件のある委員選出

問題

男子7人、女子5人の中から5人の委員を選ぶとき、次のような選び方は何通りあるか。

(1) すべての選び方

(2) 男子3人、女子2人を選ぶ。

(3) 女子が少なくとも1人選ばれる。

(4) 特定の2人 $A,B$ がともに選ばれる。

(5) 特定の2人 $A,B$ について、 $A$ は選ばれるが $B$ は選ばれない。

組合せの重要問題です。

特に(2)は、組合せに限らず、数学Aの「場合の数と確率」のど真ん中にあるような問題だと感じます。

(2)では、男子と女子という2つのグループから、決められた人数をそれぞれ選びます。男子から選ぶ操作と女子から選ぶ操作を分けて考え、最後に2つの選び方を組み合わせます。

今回は男子と女子ですが、袋と色の付いた球、種類の異なるカード、学年の異なる生徒など、題材を変えた同じ形式の問題が頻繁に出題されます。さらに確率の問題でも、条件に合う場合の数を数えるときに同じ考え方を使います。

問題文を見たときに、「どのグループから何個選ぶのか」を整理し、それぞれを組合せで計算できるようになることが大切です。何度も練習してよい問題です。

男子7人と女子5人の合計12人から5人を選ぶので、
${}_{12}C_5=792$
より、792通り。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

すべての選び方から、男子だけを5人選ぶ場合を除く。
${}_{12}C_5-{}_7C_5 =792-21 =771$
より、771通り。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

$A,B$ の2人は必ず選ばれるので、残りの3人をほかの10人から選ぶ。
${}_{10}C_3=120$
より、120通り。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。

$A$ は必ず選び、 $B$ は選ばない。残りの4人を、 $A,B$ 以外の10人から選ぶ。
${}_{10}C_4=210$
より、210通り。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。