ある集団で、感染症に感染している人の割合は全体の2％である。この集団の全員に検査を行ったところ、感染している人の90％、感染していない人の5％が陽性となった。
この集団から無作為に1人を選ぶ。
(1) 選ばれた人が陽性である確率を求めよ。
(2) 選ばれた人が陽性であったとき、その人が感染している確率を求めよ。
条件付き確率の応用問題の中では定番問題です。感染症の問題と不良品の問題は、よく取り上げられます。ただし、本問題のようなタイプの感染症の問題が、教科書や問題集にない場合もあるようです。
感染しているかどうかと、検査で陽性・陰性のどちらになるかが別の話であるところから、ややこしいのが特徴です。条件付き確率が試験範囲であれば、この辺の問題が定期試験対策の一つの目安になると思います。
また、解き方の選択肢がかなり多いです。表・樹形図・Pを用いた計算などなど。解法に関しては、教科書どおりにやる必要はないと思います。私の手持ちの教科書ではPを使って計算していますが、かなり負荷が高いと思います。
本解答では、(1)(2)ともに表を使っています。もちろん、樹形図でも解けますし、Pを使っても解けます。
さらに、表では全体を1000人と仮定し、人数を整数で扱えるようにしています。もちろん、割合のまま計算することもできます。
どの解法であれ、その肝は「何を全体と見るか」になります。集団全体の1000人かもしれませんし、陽性者の人数かもしれませんし、実際に感染している人の数かもしれません。それは、問題で何を求められているかによって変わります。
全体を1000人と仮定すると、感染者は全体の2％なので、
非感染者は 人。
AI接続は次工程で実装予定です。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
感染者20人の90％が陽性なので、
感染者のうち陰性は 人。
非感染者980人の5％が陽性なので、
非感染者のうち陰性は 人。これらの人数を表に整理する。
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陽性者は 人なので、求める確率は、
AI接続は次工程で実装予定です。
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陽性であったことが分かっているので、選ぶ対象は陽性者67人である。表の陽性の列に注目すると、そのうち感染者は18人なので、求める確率は、
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(2)