034方程式の整数解と重複組合せ

「重複組合せ」の基本問題です。基本問題とはいうものの、重複組合せには特有の考え方が必要になるため、簡単とは限りません。

なお、重複組合せは、教科書によっては本文の本筋として扱われず、後ろの「研究」などに掲載されていることがあります。学校の授業で扱ったか、使用している教科書や問題集で学習範囲に含まれているかを、しっかり確認してから取り組んでください。未習の場合は、通常の組合せの知識だけで無理に解こうとせず、まず重複組合せの考え方を確認した方がよいでしょう。

本問題は、MA-CP-033とまったく同じ考え方で解けます。実際に、同じ種類のあめ10個をA、B、Cの3人に分配すると考えてみましょう。A、B、Cが受け取るあめの個数をそれぞれ $x,y,z$ とすれば、

となります。

反対に、この方程式を満たす0以上の整数 $x,y,z$ が1組決まれば、A、B、Cへ配るあめの個数も1通りに決まります。

つまり、本問題は方程式の形をしていますが、その中身は「同じもの10個を3人に分配する問題」です。問題の見た目が変わっても、すでに学んだ問題と同じ構造であることに気づけるかが重要です。