表裏が同様に確からしいコインを、各回独立に投げる。表が先に3回出たらAの勝ち、裏が先に2回出たらBの勝ちとし、勝敗が決まった時点でゲームを終了する。
(1) 4回目にAの勝ちが決まる確率を求めよ。
(2) Aが勝つ確率を求めよ。
(3) Bが勝つ確率を求めよ。
反復試行の「先に何勝系」の応用問題です。今回はコインを使っていますので、各回で表・裏が出る確率はそれぞれ です。よくある形式は、Aの勝率が でBの勝率が として先に3勝した方が勝ち、といった形式です。
その形式でも、本問題の形式でも、意識すべきことは、最後の試合で勝つ方を固定することです。例えば4回試合をしてAが勝つ場合は、4試合目の勝者をAに固定して、1～3試合目を議論するような形です。勝負がつく試合回数ごとに場合分けをしないと逆に解きにくいはずです。
(1)は4試合目にAが勝つと固定しましょう。この考え方さえわかれば、(2)(3)ともに地道に場合分けして計算していけばよいです。(2)(3)のフロー1にて、試合回数に上限があることを確認していますが、これは特に意識しないでも、問題を解いている最中に勝手に気が付きます。
自然に気が付いた場合でも、場合分けした確率を足す前に、すべての場合を拾えているか確認しておきましょう。
4回目にAの勝ちが決まるには、最初の3回で表2回・裏1回、4回目は表となればよい。この条件なら、3回目までにどちらの勝ちも決まっていない。
最初の3回で表が出る2回を選び、最後に表が出る確率を掛けるので、
AI接続は次工程で実装予定です。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
3回投げても未決着なら、表2回・裏1回しかない。次が表ならAの勝ち、裏ならBの勝ちが決まるため、5回目には進まない。
Aが勝つには表が3回必要なので、Aの勝ちが決まるのは3回目または4回目である。
AI接続は次工程で実装予定です。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
3回目にAの勝ちが決まるのは、表が3回連続で出る場合なので、
4回目にAの勝ちが決まる確率は、(1)より 。
AI接続は次工程で実装予定です。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
3回目にAの勝ちが決まる場合と4回目に決まる場合は排反なので、
AI接続は次工程で実装予定です。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
3回投げても未決着なら、表2回・裏1回しかない。次が表ならAの勝ち、裏ならBの勝ちが決まるため、5回目には進まない。
Bが勝つには裏が2回必要なので、Bの勝ちが決まるのは2回目・3回目・4回目のいずれかである。
AI接続は次工程で実装予定です。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
裏が2回連続で出る場合なので、
AI接続は次工程で実装予定です。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
最初の2回で裏1回・表1回、3回目は裏となればよい。
AI接続は次工程で実装予定です。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
最初の3回で裏1回・表2回、4回目は裏となればよい。この条件なら、3回目までにどちらの勝ちも決まっていない。
AI接続は次工程で実装予定です。
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2回目・3回目・4回目にBの勝ちが決まる場合は互いに排反なので、
AI接続は次工程で実装予定です。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
(1)
(2)
(3)