029複数の組へのグループ分け

問題

10人を次のように組分けするとき、分け方は何通りあるか。

(1) 5人、3人、2人の3組に分ける。

(2) 5人ずつ、A組とB組に分ける。

(3) 5人ずつ、名前のない2組に分ける。

(4) 6人、2人、2人の、名前のない3組に分ける。

(5) 2人ずつ、名前のない5組に分ける。

「組合せ」における重要問題であり、ここから少し応用に入ります。1つの集団から複数の組を作る、すなわち「組合せ」に「グループ分け」の要素を加えた問題です。

「部屋分け」と「グループ分け」の違いを、A、B、C、Dの4人を2人ずつに分ける場合で整理してみます。

\begin{aligned} \text{部屋分け：}\quad& \begin{cases} 101\text{号室に }\mathrm{A,B}\\ 102\text{号室に }\mathrm{C,D} \end{cases} \quad+\quad \begin{cases} 101\text{号室に }\mathrm{C,D}\\ 102\text{号室に }\mathrm{A,B} \end{cases}\\ \text{グループ分け：}\quad& \mathrm{A,B}\text{の組}\quad \mathrm{C,D}\text{の組} \end{aligned}

部屋には「101号室」「102号室」という名前があるため、同じメンバーでも入る部屋が逆になれば別の分け方です。一方、名前のないグループでは、2つの組を入れ替えても同じ分け方になります。

今回は、(2)が部屋分け、(3)がグループ分けに当たります。また、(1)では各組の人数が異なり、人数によって組を区別できるため、部屋分けと同じように考えられます。この違いを意識して解くことになります。頻出問題ですが、テストの中に紛れて出題されると難儀するかもしれません。

10人から6人の組に入る人を選ぶ。
${}_{10}C_6$
通りである。
AIの回答には誤りが含まれる場合があります。ThinkingFlowの確認済み結果・最終解答と照合してください。
残りの4人から、一方の2人組に入る2人を選ぶと ${}_4C_2$ 通りである。

ただし、2つの2人組には名前がないため、組の入れ替えによる重複を除いて $2!$ で割る。
${}_{10}C_6\times\frac{{}_4C_2}{2!} =210\times\frac{6}{2} =630$
より、630通り。
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10人から2人、残りの8人から2人、というように2人組を順に作ると、
${}_{10}C_2\times{}_8C_2\times{}_6C_2 \times{}_4C_2\times{}_2C_2$
通りとなる。
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5つの組には名前がないため、同じグループ分けを $5!$ 回ずつ数えている。そこで $5!$ で割る。
$\begin{aligned} \frac{{}_{10}C_2\times{}_8C_2\times{}_6C_2 \times{}_4C_2\times{}_2C_2}{5!} &=\frac{45\times28\times15\times6\times1}{120}\\ &=945 \end{aligned}$
より、945通り。
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